Sequência de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250) nasceu em Pisa, na Itália. Filho deum comerciante chamado Bonacci, de onde surgiu o nome Fibonacci (filius de Bonacci), acompanhava seu pai em viagens pelo Mediterrâneo, fato que despertou seu interesse pelos negócios e pelos cálculos. Durante essas viagens Fibonacci percebeu que os cálculos feitos pelos árabes eram mais práticos, pois usava-se algarismos indo-arábicos, e não letras como era utilizado pelos Europeus. Ao retornar à Pisa, Fibonacci utilizou os conhecimentos adquiridos com os árabes e foi o responsável por inserir na Europa os números de 0 a 9, tais como usamos hoje. Em seu livro mais famoso Liber Abbaci (Livro do Ábaco), escrito em 1202 estão contidas regras para o cálculo segundo os novos numerais indo-arábicos, mas também diversos problemas certamente muito úteis aos mercadores da época, como cálculo de lucros, conversão de moedas, medidas e outros tipos de problemas que são resolvidos utilizando equações quadráticas. O livro apresenta, ainda, alguns métodos para somar séries.

A Origem da Sequência de Fibonacci

No livro Liber Abbaci é apresentado o mais famoso problema de Fibonacci, o problema da reprodução de coelhos:

"Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil somente a partir do segundo mês”

Para resolver o problema iniciamos com um par de coelhos jovens. Após o primeiro mês, esse par já estará adulto e fértil. No segundo mês, esse primeiro par dá à luz a outro par, ficando com dois pares. No terceiro mês, o par adulto dá à luz a outro par jovem, enquanto o par de filhotes se torna fértil, portanto ficamos com três pares. No quarto mês, cada um dos dois pares adultos dá a luz a um par jovem e o terceiro par se torna adulto e fértil. E assim segue durante os demais meses.

A figura 1 mostra a reprodução dos coelhos até o 7º mês.

Fig. 1 – Simulação da reprodução de coelhos

Analisando a figura acima percebemos que a solução do problema nos dá uma sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

E foi através desse problema que Fibonacci que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede se aproximam do número de ouro.

Podemos representar esse problema através da fórmula:

Fn+1= Fn-1 + Fn,

Com F1 = 1, F2 = 1 e n = 2, 3, 4, ...

Essa sequência foi denominada no século XIX como sequência de Fibonacci, mas ela não se aplica apenas ao caso dos coelhos, como veremos mais tarde.

O Número de Ouro

O número de ouro é um número irracional com valor aproximado a 1,618 e é representado pela letra grega Φ (phi). Ele aparece na natureza, em construções, na música e na arte. Leonardo da Vinci usou esse conhecimento ao representar o homem em forma de estrela de cinco pontas que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

Nesses pentágonos tem-se que ao ligarmos suas extremidades por meio de linhas teremos uma estrela, e a interseção das linhas dessa estrela formam um novo pentágono menor, porém com as mesmas proporções.

Figura 2 – Representação do pentágono

De acordo coma figura 2 é possível notar que cada ponto A’, B’, C’, D’ e E’ divide a diagonal em dois segmentos diferentes, tais que a razão da diagonal para o maior dos segmentos é igual à deste para o segmento menor. Essa divisão das diagonais é a seção áurea de um segmento.

Segundo o matemático Kepler:

"A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa." [Boyer, 1996, p.35].

Razão Áurea

A razão áurea foi descrita por Euclides na proposição "dividir um segmento de reta em média e extrema razão". Quando temos um segmento AB e um ponto C que divide esse segmento em dois segmentos desiguais, temos um segmento em média e extrema razão.

Esta relação pode ser descrita assim:

Figura 3 – Representação da Razão Áurea

Para calcularmos o número áureo façamos AB = a + b, AC = a e CB =b, de acordo com a figura acima. Então:

Fazendo as substituições:

Chamaremos b/a = u, assim:

u² + u -1 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau obtemos as seguintes soluções:

Desprezando a solução negativa, temos que a solução desejada é

Note que o valor 1,618034 é o número de ouro.

Fibonacci e a Razão Áurea

Propriedade: A razão entre dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci tende ao número de ouro quando n vai para o infinito, ou seja

A demonstração dessa e de outras propriedades da sequência de Fibonacci podem ser conferidas no seguinte endereço http://www.dm.ufscar.br/dm/attachments/article/5/MonografiaVictor.pdf.

A Sequência de Fibonacci e a Natureza

A sequência de Fibonacci pode ser detectada em várias áreas, como nas pétalas de flores, em sementes, em espirais, etc. Em algumas plantas essa sequência de Fibonacci pode ser observada através do crescimento de seus galhos. Observemos a figura para entender como funciona esse crescimento.

Figura 4 – Sequência de Fibonacci em plantas

Na imagem temos que na planta em questão nasce um novo broto a cada mês e cada um desses brotos levam 2 meses para suportar uma nova ramificação. Sendo assim, observa-se a presença da sequência de Fibonacci.

Sementes

Nas sementes de algumas flores também podemos encontrar os números de Fibonacci. Se observarmos a flor que aparece na figura, vemos que as sementes na cor laranja formam espirais, tanto para esquerda quanto para a direita. Quanto mais para extremidade olharmos, maior será o número de pétalas, número que decrescerá conforme vamos chegando ao centro. Na imagem se contarmos a espiral para a direita teremos 55 pétalas próxima a borda e 34 pétalas mais próxima do centro. Assim, o número de pétalas seguirá na sequência de Fibonacci não importando o tamanho das sementes.

Figura 5 – Sequência de Fibonacci nas pétalas

Folhas

Muitas plantas mostram a sequência de Fibonacci no modo como suas folhas estão dispostas em torno de suas hastes. Do ponto de vista botânico esse é um fato importante, pois permite que cada folha receba uma certa quantidade de chuva e de luz solar, essenciais para sua sobrevivência.

A imagem acima está baseada em um certo tipo planta com muitas folhas. É possível perceber que o número de voltas em cada sentido e o número de folhas reuniram-se três números consecutivos de Fibonacci. Se analisarmos a imagem superior da planta temos três rotações no sentido horário, e então temos uma folha diretamente acima da primeira, passando cinco folhas no caminho. Se formos no sentido anti-horário, temos apenas 2 voltas. Sabemos que 2, 3 e 5 são números consecutivos de Fibonacci.

Para a parte inferior de plantas na imagem, temos cinco rotações no sentido horário passando 8 folhas, ou apenas três rotações no sentido anti-horário. Desta vez, 3, 5 e 8 são números consecutivos na sequência de Fibonacci.

Espirais

Podemos perceber a sequência de Fibonacci na figura: cada retângulo subdivide-se em dois e o maior está em proporção áurea com o menor. Os tamanhos de cada um seguem de acordo com os números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma espiral, a chamada Espiral de Fibonacci.

O mercado financeiro e a sequência de Fibonacci

Ralph Nelson Elliott trabalhou por muito tempo como contador numa empresa de Estrada de Ferro Internacional para a América Central. Fez sucesso com seus livros editados nos EUA sobre os problemas sócios econômicos da América Latina. Quando descobriu uma doença, Elliot passou a buscar uma ocupação durante seu período de tratamento. Revisou seus livros e interessou-se pela Teoria de Dow. Em maio de 1.934 Elliott fazia suas primeiras observações técnicas sobre o mercado acionário. Ele catalogou 13 padrões comportamentais humano-coletivo, definiu alguns conceitos e classificou os ciclos de Dow como “ondas movimento” - grandes, médias e pequenas.

Em 1940, Elliot descreve padrões repetitivos nos mercados como Dow. Mas Era necessário compreender os tipos de ciclos (ondas) e buscar padrões internos, e além disso, provar tais conceitos. Para isso Elliot usou as leis de Fibonacci.

Tanto a teoria de Elliot quanto a teoria de Fibonacci estão relacionadas ao comportamento humano. Fazendo uma junção dessas duas teorias temos a seguinte figura:

Podemos também notar que o movimento de uma onda de alta, também chamada por Elliott de onda impulsiva, se dá em cinco movimentos, que é o 5º número da sequência de Fibonacci. E o movimento de onda de baixa, chamado por Elliott de onda Corretiva, se dá em 3 movimentos, que é o 4º número da sequência de Fibonacci.

Fibonacci e as Triplas Pitagóricas

Triplas Pitagóricas são triplas de números que podem servir como comprimentos dos lados de um triângulo retângulo (como os números 3, 4 e 5). Tome quaisquer quatro números consecutivos de Fibonacci, como 1, 2, 3, 5. O produto dos números de fora, 1x5=5, duas vezes o produto dos números de dentro, 2 x 2 x 3 = 12, e a soma dos quadrados dos termos de dentro, 2² + 3²= 13, formam as 3 pernas da tripla pitagórica 5, 12, 13 (5² + 12² = 13²). Note que o terceiro número, 13 é, ele próprio, um número de Fibonacci.

MITOS

Muitos mitos surgiram a respeito da sequência de Fibonacci. Mitos envolvendo a arquitetura dizem que arquitetos da época usavam o número de ouro -através do retângulo de ouro- para fazer suas construções. Outro mito gira em torno do corpo humano. Afirma-se que é possível encontrar retângulos de ouro em partes do corpo como cabeça, mãos, pernas, etc. Sabe-se que isso é improvável, pois as proporções do corpo humanos mudam o tempo todo, com a idade, com a região em se vive, e são muitos variáveis com o passar dos anos.